Question

已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．
【解析】
（Ⅰ）由题意，，解得．
即椭圆方程为
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以 ．
原点到直线的AB距离，
所以三角形的面积．
由可得k2=2，∴，
所以直线或．