Question

已知函数（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）-2x的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求证：．

Answer

（Ⅰ）求出函数定义域，当a=1时求出g′（x），只需解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可．
（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）上无极值，则f′（x）≥0或f′（x）≤0，由此即可求出a的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=0，得f（x）=≤0，即ln，令x=适当变形即可证明．
【解析】
（I）当a=1时，，其定义域为（0，+∞），g′（x）=-2+=，，
令g′（x）＞0，并结合定义域知； 令g′（x）＜0，并结合定义域知；
故g（x）的单调增区间为（0，）；单调减区间为．
（II），
（1）当f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立时，a≤0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值；
（2）当f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立时，a≥2，此时f（x）在（0，2）上单调递增，无极值．
综上所述，a的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f′（x）=，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）=在x=1处取得最大值0．
即f（x）=1-，
∴，令x=（0＜x＜1），则，即ln（n+1）-lnn，
∴ln=ln（n+1）-ln3=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln4-ln3）
＜．
故．