Question

已知函数f（x）=x-4+4（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；
（Ⅱ）若c_n=•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）求出函数f（x）=x-4+4（x≥4）的反函数，把an+1=f-1（an）代入，整理后即可证明数列{}为等差数列；
（Ⅱ）由数列{}为等差数列求出数列{}通项公式，进一步得到数列{an}的通项公式，再由数列b1，b2-b1，b3-b2，…，bn-bn-1是首项为1，公比为的等比数列，求出{bn}的通项公式，代入cn=•bn后化简，然后利用分组求和和错位相减法求和可得数列{cn}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=x-4+4（x≥4），即（x≥4），
∴（y≥0），∴ （x≥2），
∴an+1=f-1（an）=，
即 （n∈N*）．
∴数列{}是以为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）得：，
即 （n∈N*）．
由b1=1，当n≥2时，，
∴bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=
=
=．
因而 （n∈N*）．
由cn=•bn，得：=，
∴Sn=c1+c2+…+cn
=
=．
令   ①
则  ②
①-②得，
=
=．
∴．
又1+3+5+…+（2n-1）=n2．
∴．