Question

已知数列a_n的前n项和
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证：数列b_n是等差数列，并求数列a_n的通项公式．
（2）令，试比较T_n与的大小，并予以证明．

Answer

（1）由题意知S1=-a1-1+2=a1，，所以2nan=2n-1an-1+1，bn=bn-1+1，再由b1=2a1=1，知数列bn是首项和公差均为1的等差数列．于是bn=1+（n-1）•1=n=2nan，所以
（2），，利用错位相减求和法可知，于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1．然后用数学归纳法证明．
【解析】
（1）在中，令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，即
当n≥2时，
所以
所以，即2nan=2n-1an-1+1
因为bn=2nan，所以bn=bn-1+1，即当n≥2时，bn-bn-1=1
又b1=2a1=1，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列
于是bn=1+（n-1）•1=n=2nan，所以
（2）由1）得
所以①②
由①-②得
所以
于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．
猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1
下面用数学归纳法证明：
当n=3时，显然成立
假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立
则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1
所以当n=k+1时，猜想也成立．
于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立
综上所述，当n=1，2时，，
当n≥3时，