Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，AC∩BD=O，侧棱AA₁⊥BD，点F为DC₁的中点．
（I） 证明：OF∥平面BCC₁B₁；
（II）证明：平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer

（I）由已知中底面ABCD为菱形，AC∩BD=O，点F为DC1的中点．结合三角形中位线定理我们易证明OF∥BC1，进而结合线面平行的判定定理，我们即可得到OF∥平面BCC1B1；
（II）由四边形ABCD为菱形，根据棱形的性质，我们易得对角线垂直，结合侧棱AA1⊥BD，我们根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC1A1，进而根据面面垂直的判定定理得到平面DBC1⊥平面ACC1A1
证明：（I）∵四边形ABCD为菱形且AC∩BD=O，
∴O是BD的中点．（2分）
又点F为DC1的中点，
∴在△DBC1中，OF∥BC1，（4分）
∵OF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
∴OF∥平面BCC1B1．（6分）
（II）∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，（8分）
又BD⊥AA1，AA1∩AC=A，且AA1，AC⊂平面ACC1A1，（10分）
∴BD⊥平面ACC1A1，（11分）
∵BD⊂平面DBC1，
∴平面DBC1⊥平面ACC1A1．（13分）