Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为AC的中点，点D₁是A₁C₁上的一点，若BC₁∥平面AB₁D₁，则等于（ ）

A．
B．1
C．2
D．3

Answer

利用线面、面面平行的判定定理和性质定理、反证法即可得出．
【解析】
若BC1∥平面AB1D1，则=1．如图所示：
①当D1点满足=1时，由平行四边形ADC1D1可得DC1∥AD1，∵DC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴DC1∥平面AB1D1．
同理DB∥平面AB1D1，又∵DB∩DC1=D，∴平面BDC1∥平面AB1D1．可得BC1∥平面AB1D1，满足已知条件．
②假设点D1不是线段A1C1的中点而满足已知条件BC1∥平面AB1D1，则可取线段A1C1的中点E，由（1）可知：平面BC1D∥平面AB1E，
∴平面AB1D1∥平面AB1E，这与平面AB1D1∩平面AB1E相矛盾，因此假设不成立，故点D1是线段A1C1的中点．
故选B．