Question

如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC，CC₁，C₁D₁，AA₁的中点，求证：
（1）GE∥平面BB₁D₁D；
（2）平面BDF∥平面B₁D₁H．

Answer

（1）取B1D1的中点O，连接GO，OB，可证明四边形BEGO为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得GE∥平面BB1D1D；
（2）由正方体的性质易知B1D1∥BD，取DD1中点P，连接AP，FP，可证BF∥D1H，再利用面面平行的判定定理即可．
证明：
（1）如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB，…（1分）
易证OG∥B1C1，
且OG=B1C1，…（2分）
BE∥B1C1，
且BE=B1C1…（3分）
∴OG∥BE且OG=BE，…（4分）
∴四边形BEGO为平行四边形，
∴OB∥GE…（5分）
∵OB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，
∴GE∥平面BB1D1D…（6分）
（2）由正方体的性质易知B1D1∥BD，
取DD1中点P，连接AP，FP，由于FP∥AB，且FP=AB，故四边ABFP为平行四边形，于是得AP∥FB，又HD1∥AP，故BF∥D1H，
∴BF∥D1H…（9分）
∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，
∴B1D1∥平面BDF…（10分）
∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，
∴HD1∥平面BDF…（11分）
又∵B1D1∩HD1=D1，
∴平面BDF∥平面B1D1H…（12分）