Question

已知函数为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．
（1）当时，求f（x）的取值范围；
（2）将函数y=f（x）的图象按向量平移后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer

（1）利用f（x）为偶函数，由f（-x）=f（x），利用两角和的正弦可得cos（φ-）=0，从而结合题意可求得φ，由其周期可求得ω，从而得到解析式，利用正弦函数的性质可求得x∈[，]时，f（x）的取值范围；
（2）由三角函数的图象变换可求得函数g（x）的解析式，利用余弦函数的性质可求得g（x）的单调减区间．
【解析】
（1）f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-），
∵f（x）为偶函数，
∴对x∈R，f（-x）=f（x）恒成立
∴sin（-ωx+φ-）=sin（ωx+φ-），
即-sinωxcos（φ-）+cosωxsin（φ-）=sinωxcos（φ-）+cosωxsin（φ-），
∴sinωxcos（φ-）=0，
∵ω＞0且x∈R
∴cos（φ-）=0，
又∵0＜φ＜π，
∴φ-=，
∴f（x）=2sin（ωx+φ+）=2cosωx，
依题意=2•=π，
∴ω=2．
∴f（x）=2cos2x…（4分）
∵x∈[，]，
∴2x∈[，]，
∴cos2x∈[-1，]，
∴f（x）∈[-2，1]…（7分）
（2）依题意g（x）=f（-）=2cos[2（-）]=2cos（-），
由2kπ≤-≤2kπ+π（k∈Z）得：4kπ+≤x≤4kπ+（k∈Z）
∴g（x）的单调减区间为[4kπ+≤x≤4kπ+]（k∈Z）…（13分）