Question

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+d．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果f（x）在区间[-2，2]上的最小值为-4，求实数d以及在该区间上的最大值．

Answer

（1）求出函数的导函数，解出函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，判断导函数在各区间段内的符号，从而得出原函数的单调区间；
（2）由（1）求出的函数的单调区间，分析函数在区间[-2，2]上的单调性，从而求出函数在区间[-2，2]上的最小值，把给出的最小值-4代入即可求得d的值，然后求出端点处的函数值，则函数在[-2，2]上的最大值可求．
【解析】
（1）由f（x）=-x3+3x2+9x+d，得：f′（x）=-3x2+6x+9．
令f′（x）＜0，即-3x2+6x+9＜0．
解得：x＞3或x＜-1．
再令f′（x）＞0，即-3x2+6x+9＞0．
解得-1＜x＜3．
所以该函数的单调递减区间为（-∞，-1），（3，+∞）；
单调递增区间为（-1，3）．
（2）令f′（x）=0，得到x=-1或x=3（舍）．
由（1）知道该函数在[-2，-1]上递减，在[-1，2]上递增，
那么，最小值为f（-1）=d-5=-4，所以d=1．
所以，f（x）=-x3+3x2+9x+1．
而f（-2）=-（-2）3+3×（-2）2+9×（-2）+1=3，
f（2）=-23+3×22+9×2+1=23．
所以函数f（x）的最大值为23．