Question

已知F₁、F₂分别是椭圆C：的左焦点和右焦点，O是坐标系原点，且椭圆C的焦距为6，过F₁的弦AB两端点A、B与F₂所成△ABF₂的周长是．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是椭圆C上不同的两点，线段PQ的中点为M（2，1），求直线PQ的方程．

Answer

（1）由焦距可求得c值，由△ABF2的周长是可得a值，再由a2=b2+c2即可求得b值；
（2）平方差法：把点P（x1，y1），Q（x2，y2）坐标代入椭圆方程作差，可求得直线PQ的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；
【解析】
（1）设椭圆C：的焦距为2c，
∵椭圆C：的焦距为2，∴2c=6，即c=3，
又∵F1、F2分别是椭圆C：的左焦点和右焦点，且过F1的弦AB两端点A、B与F2所成△ABF2的周长是．
∴△ABF2的周长=AB+（AF2+BF2）=（AF1+BF1）+（AF2+BF2）=4a=，解得，
又∵a2=b2+c2，∴b2=18-9=9，
∴椭圆C的方程是；
（2）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）是椭圆C上不同的两点，
∴，．
以上两式相减得：，
即，，
∵线段PQ的中点为M（2，1），∴．
∴，
当x1=x2，由上式知，y1=y2则P，Q重合，与已知矛盾，因此x1≠x2，
∴，即直线PQ的斜率为-1，
∴直线PQ的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．