Question

在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两相互垂直，且OA＞OB＞OC，分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃中的最小值是    ．

Answer

取BC中点D，连接OD，AD，则平面OAD平分三棱锥的体积，即三角形OAD面积为S1，由此推导出S12=（OA2OB2+OA2OC2）．同理可得S22=（OA2OB2+OB2OC2），S32=（OA2OC2+OB2OC2），由此能求出S1，S2，S3中的最小值．
【解析】
取BC中点D，连接OD，AD，则平面OAD平分三棱锥的体积，
即三角形OAD面积为S1，
在Rt△BOC中，OD是斜边BC上的中线，∴OD=BC，
∵OA⊥OB，OA⊥OC，∴OA⊥平面BOC，
∵OD⊂平面BOC，
∴OA⊥OD，
∴S1=OA×OD，
即S12=OA2OD2=OA2BC2=OA2（OB2+OC2）=（OA2OB2+OA2OC2）．
同理可得S22=（OA2OB2+OB2OC2），
S32=（OA2OC2+OB2OC2），
因为OA＞OB＞OC
所以S12＞S22＞S32
所以S1，S2，S3中的最小值是S3．
故答案为：S3．