Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若．
（1）求证：{a_n-1}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer

（1）数列的第n项与前n项和的关系求得 an+1-1=2（an-1-1），a1-1=-2≠0，可得{an-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）求出，由此求得数列{bn}的通项公式，再用裂项法求出数列{bn}的前n项和．
（1）【解析】
由题意可得：当n≥2时，由 an =Sn-Sn-1=2an+n-（2an-1+n-1），可得 an =2an-1-1，…（2分）
∴an+1-1=2（an-1-1）．…（4分）
又因为S1=2a1+1，所以a1=-1，a1-1=-2≠0，
∴{an-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列．…（7分）
（2）【解析】
由（1）知，，即，…（9分）
∴，（11分）
故．（14分）