Question

若函数，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；
（2）判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer

（1）根据函数，在定义域上是奇函数且f（1）=3，可得f（-1）=-3，由此构造方程组可得a，b的值，进而写出f（x）的表达式；
（2）根据（1）中函数解析式，求出函数的导函数，进而根据导函数的符号，判断出原函数的单调性．
【解析】
（1）∵，在定义域上是奇函数且f（1）=3，
∴f（-1）=-3
∴
解得a=2，b=0
∴
（2）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，理由如下：
∵=2-
∵x∈[1，+∞）时，＜1，f′（x）＞0
故函数f（x）在[1，+∞）上单调递增