Question

已知函数
（1）求函数 g（x）的值域；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的零点．
（3）当x＜0时，解不等式f（x）+g（x）＞3．

Answer

（1）根据函数 g（x）=，且 2|x|≥1，可得 2＜≤3，从而求得函数 g（x）的值域．
（2）分x≥0和x＜0两种情况，分别求得函数h（x）的零点，从而得出结论．
（3）当x＜0时，不等式即 2x+＞3，即 22x+2x-1＞0，求得2x的范围，即可求得x的范围．
【解析】
（1）∵函数 g（x）=，而 2|x|≥1，∴2＜≤3，
故函数 g（x）的值域为（2，3]．
（2）函数h（x）=f（x）-g（x）=2x-，当x≥0时，h（x）=2x--2．
令 h（x）=0 可得22x-2•2x-1=0，解得 2x=1+，或 2x=1-（舍去），故x=．
当x＜0时，h（x）=-2，故h（x）无零点．
综上，函数h（x）的零点是 x=．
（3）当x＜0时，0＜2x＜1，不等式f（x）+g（x）＞3，即 2x+＞3，即 22x+2x-1＞0．
解得 2x＜（舍去），或 2x＞，
综合可得，1＞2x＞，故有0＞x＞，故不等式的解集为{x|0＞x＞}．