Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面AEF，则线段A₁P长度的取值范围是（ ）

A．[1，]
B．[，]
C．[，，]
D．[，]

Answer

分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．
【解析】
如下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，
∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，
在Rt△A1B1M中，=，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，
∴△A1MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，
==，
A1M=A1N=，
所以线段A1P长度的取值范围是[，]．
故选B．