Question

任給实数a，b定义a⊕b=  设函数f（x）=lnx⊕x，则f（2）+f（）=    ；若{a_n}是公比大于0的等比数列，且a₅=1，f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）…+f（a₇）+f（a₈）=a₁，则a₁=    ．

Answer

由新定义可得f（x）=lnx⊕x=，代入数值求解可得；可设该数列的前8项分别为，，，，1，q，q2，q3，当q＞1时，f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）=-q4lnq4＜0，不合题意，当0＜q＜1时，f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）=q4lnq4=，解之即可．
【解析】
∵a⊕b=，∴f（x）=lnx⊕x=，
∴f（2）+f（）=2ln2+=2ln2+2ln=2ln2-2ln2=0；
∵{an}是公比大于0的等比数列，且a5=1，
故可设该数列的前8项分别为，，，，1，q，q2，q3，
故当q＞1时，数列的前4项，，，均为（0，1）之间的数，
数列的6、7、8项q，q2，q3均大于1，
f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）
=++++0+qlnq+q2lnq2+q3lnq3=-q4lnq4＜0，
这与f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）=a1=＞0矛盾；
同理可得当0＜q＜1时，数列的前4项，，，均为大于1，
数列的6、7、8项q，q2，q3均为（0，1）之间的数，
f（a1）+f（a2）+f（a3）…+f（a7）+f（a8）=q4lnq4=a1=，
解得，故a1=e
故答案为：0； e