Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，且E是BC中点．
（I）求证：A₁B∥平面AEC₁；
（Ⅱ）求证：B₁C⊥平面AEC₁．

Answer

对（I），根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行⇒线面平行．
对（II），根据直棱柱的性质，侧棱与侧面都与底面垂直，可证平面内的AE与B1C垂直；
利用平面几何与三角函数知识，证C1E与B1C垂直；再由线线垂直⇒线面垂直．
证明：（I） 连接A1C交AC1于点O，连接EO
∵ACC1A1为正方形，∴O为中点
∴EO∥A1B，EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，
∴A1B∥平面AEC1．
（Ⅱ）∵AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC
∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AE⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C，
∴B1C⊥AE
在矩形BCC1B1中，tan∠CB1C1=tan∠EC1C=，
∵∠CB1C1+∠B1CC1=
∴∠B1CC1+∠EC1C═，
∴B1C⊥EC1，
又AE∩EC1=E，
∴B1C⊥平面AEC1