Question

函数f（x）=x³-3x²-9x+3，若函数g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3个零点，则m的取值范围为（ ）
A．（-24，8）
B．（-24，1]
C．[1，8]
D．[1，8）

Answer

函数g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3个零点，可转化为函数f（x）=x3-3x2-9x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，故求出函数的单调性与极值，对研究出函数的图象的特征，由图象求出m的取值范围即可
【解析】
函数g（x）=f（x）-m在x∈[-2，5]上有3个零点，即函数f（x）=x3-3x2-9x+3，与y=m两个函数的图象有三个交点，下研究函数f（x）=x3-3x2-9x+3的性质
由题意f'（x）=3x2-6x-9
令f'（x）=3x2-6x-9＞0解得x＞3或x＜-1
又x∈[-2，5]
故f（x）=x3-3x2-9x+3在（-2，-1）与（3，5）上是增函数，在（-1，3）上是减函数，
x=-2，-1，3，5时，函数值对应为1，8，-24，8
其图象如图，可得1≤m＜8
故选D