Question

（已知数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-l（n≥2且n∈N^*．）
（I）证明：数列为等差数列：
（II）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

Answer

（I）设bn=，可求得b1，再作差证明bn+1-bn为定值即可；
（II）利用错位相减法即可求得数列{an-1}的前n项和Sn．
【解析】
（I）设bn=，则b1==2…2分，
bn+1-bn=-=[（2n+1-1）+1]=1…4分
∴数列{}为首项是2，公差是1的等差数列…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=+（n-1）×1，
∴an-1=（n+1）•2n…7分
∵Sn=2•21+3•22+…+n•2n-1+（n+1）•2n①
∴2Sn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1②…9分
①-②，得：-Sn=4+（22+23+…+2n）-（n+1）•2n+1
∴Sn=-4-4（2n-1-1）+（n+1）•2n+1，
∴Sn=n•2n+1…12分