Question

已知函数f（x）对任意的m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n），并且x＞0时恒有f（x）＞0
（1）求证：f（x）在R上是增函数
（2）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对∀x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）任取x1，x2，且x1＜x2，由f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）及x＞0时恒有f（x）＞0可得f（x2）与f（x1）的大小关系，由函数单调性即可证明；
（2）f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0⇒f[（k•3x）+（3x-9x-2）]＜f（0），利用函数单调性可化为（k+1）•3x-9x-2＜0恒成立，分离出参数k后转化为求函数最值即可．
【解析】
（1）任取x1，x2，且x1＜x2，
由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（m+n）-f（n）=f（m），
所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
又x＞0时恒有f（x）＞0，且x2-x1＞0，
所以f（x2-x1）＞0，即f（x2）-f（x1）＞0，所以f（x2）＞f（x1），
故f（x）在R上为增函数；
（2）令m=n=0，则由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0，
f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0⇒f[（k•3x）+（3x-9x-2）]＜f（0），
由（1）知f（x）为增函数，所以（k•3x）+（3x-9x-2）＜0，即（k+1）•3x-9x-2＜0，也即（k+1）＜，
所以f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对∀x∈R恒成立，等价于（k+1）＜恒成立，
又≥2=2，当且仅当，即x=时取得等号，
所以k+1＜2，即k＜2-1，
故实数k的取值范围为：k＜2-1．