Question

已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比数列．求：
（I）数列{a_n}的通项公式；
（II）数列的前n项和S_n．

Answer

（I）设等差数列{an}的公差为d，根据a1，a3，a9成等比数列建立关于d的方程，解之即可得到d=1（舍去0），由此代入等差数列的通项公式，即可得到数列{an}的通项公式；
（II）由（I）可得=n×2n，利用错位相减法结合等比数列求和公式，即可得到数列的前n项和Sn的值．
【解析】
（I）设等差数列{an}的公差为d，由题意知d为非零常数
∵a1=1，a1、a3、a9成等比数列
∴a32=a1×a9，即（1+2d）2=1×（1+8d），解之得d=1（舍去0）
因此，数列{an}的通项公式为an=1+（n-1）×1=n；
（II）由（I）得=n×2n
∴Sn=1×21+2×22+3×23+…+（n-1）×2n-1+n×2n…①
两边都乘以2，得2Sn=1×22+2×23+3×24+…+（n-1）×2n+n×2n+1…②
①-②可得：-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1（1-n）-2
∴Sn=（n-1）2n+1+2．