Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求证：EF⊥B₁C．

Answer

（I）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B，而D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，满足定理所需条件；
（II）欲证EF⊥B1C，可先证B1C⊥面ABC1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证B1C与面ABC1D1内两相交直线垂直，而B1C⊥AB，B1C⊥BC1，满足定理条件，问题即可得证．
证明：（Ⅰ）连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则
⇒EF∥平面ABC1D1；

（Ⅱ）根据题意可知：
⇒
⇒⇒EF⊥B1C．