Question

如图，顺达架校拟在长为400m的道路OP的一侧修建一条训练道路，训练道路的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0），x∈[0，200]的图象，且图象的最高点为，训练道路的后一部分为折线段MNP，为保证训练安全，限定∠MNP=120°．
（I）求曲线段OSM对应函数的解析式；
（II）应如何设计，才能使折线段训练道路MNP最长？最长为多少？

Answer

（I）由题意可得，最高点S（150，100），故A=100，由 •=150 求得ω，即可得到函数的解析式．
（II）当x=200时，y=150，故MP=250，设MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得=2502=（m+n）2-mn．由于 mn≤，当且仅当m=n时，取等号，可得0＜m+n≤，从而求得 m+n的最大值．
【解析】
（I）由题意可得，最高点S（150，100），故A=100，•=150，ω=．
故函数的解析式为 y=100sin （0≤x≤200）．
（II）当x=200时，y=150，故MP==250，设MN=m，NP=n，在△MNP中，由余弦定理可得
MP2=2502=MN2+NP2-2MN•NP•cos120°=m2+n2+mn=（m+n）2-mn．
由于 mn≤，当且仅当m=n时，取等号，∴2502=（m+n）2-mn≥（m+n）2-，
故有 0＜m+n≤，即将折线段中MN与NP的长度设计为相等时，折线段训练道路MNP最长，
且最长为  米．