Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为棱DD₁上的一点．
（1）求三棱锥A-MCC₁的体积；
（2）当A₁M+MC取得最小值时，求证：B₁M⊥平面MAC．

Answer

（1）由题意可知，A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；
（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．易证CM⊥平面B1C1M，从而CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，
问题得到解决．
【解析】
（1）由长方体ABCD-A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，
∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，
又=CC1×CD=×2×1=1，
∴=AD•=．
（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，

当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．
由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点．连接C1M，在△C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，
∴=+MC2，得∠CMC1=90°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面CDD1C1，
∴B1C1⊥CM，又B1C1∩C1M=C1，
∴CM⊥平面B1C1M，
∴CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC=M，
∴B1M⊥平面MAC