Question

设函数f（x）=xlnx（x＞0），g（x）=-x+2，
（I）求函数f（x）在点M（e，f（e））处的切线方程；
（II）设F（x）=ax²-（a+2）x+f′（x）（a＞0），讨论函数F（x）的单调性；
（III）设函数H（x）=f（x）+g（x），是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

Answer

（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），则函数f（x）在点M（e，f（e））处切线的斜率为f′（e）=2，由此能求出函数f（x）在点M（e，f（e））处的切线方程．
（II）F（x）=ax2-（a+2）x+lnx+1，x＞0，F′（x）=2ax-（a+2）+=，x＞0，a＞0，令F′（x）=0，则x=，或，由此进行分类讨论，能求出函数F（x）的单调性．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，则x=1，由此列表讨论，能够推导出存在实数m=1和M=2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=H（x），x∈[]都有公共点．
【解析】
（I）f′（x）=lnx+1（x＞0），
则函数f（x）在点M（e，f（e））处切线的斜率为f′（e）=2，f（e）=e，
∴所求切线方程为y-e=2（x-e），即y=2x-e．
（II）F（x）=ax2-（a+2）x+lnx+1，x＞0
F′（x）=2ax-（a+2）+
=
=，x＞0，a＞0，
令F′（x）=0，则x=，或，
①当0＜a＜2，即时，令F′（x）＞0，解得0＜x＜，或x＞；
令F′（x）＜0，解得＜x＜；
∴F（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）单调递减．
②当a=2，即时，F′（x）≥0恒成立，
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＞2，即时，令F′（x）＞0，解得0＜x＜或x＞；
令F′（x）＜0，解得＜x＜；
∴F（x）在（0，），（，+∞）上单调递增，在（，）单调递减．
（III）H（x）=-x+2+xlnx，H′（x）=lnx，令H′（x）=0，则x=1，
当x在区间（，e）内变化时，H′（x），H（x）的变化情况如下表：

x （，1） 1 （1，e） e
H′（x） - +
H（x） 2- ↘ 极小值1 ↗ 2

又∵，∴函数的值域为[1，2]． 
据此可得，若，则对每一个t∈[m，M]，
直线y=t与曲线y=H（x），x∈[，e]都有公共点；
并且对每一个t∈（-∞，m）∪（M，+∞），直线y=t与曲线y=H（x），x∈[]都没有公共点．
综上，存在实数m=1和M=2，使得对每一个t∈[m，M]，
直线y=t与曲线y=H（x），x∈[]都有公共点．