Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是四边形ABCD对角线的交点．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求证：平面AB₁D₁⊥平面A₁AC；
（3）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求多面体D₁DAOB₁的体积．

Answer

（1）作平行线，通过线线平行⇒线面平行；
（2）证明平面AB1D1内的直线B1D1垂直于另一平面，再由线面垂直⇒面面垂直；
（3）利用棱锥的换底性，求得高与底面面积，再根据公式求解即可．
【解析】
（1）证明：连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是矩形．
∴A1C1∥AC，且 A1C1=AC．
又O1，O分别是A1C1，AC的中点，
∴O1C1∥AO，且O1C1=AO．
∴AOC1O1是平行四边形．
∴C1O∥AO1．
又AO1⊂平面AB1D1，C1O⊄平面AB1D1，
∴C1O∥平面AB1D1．
（2）方法一：
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，D1B1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1．       
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
而D1B1∥BD，∴D1B1⊥AC．                   
∵A1A∩AC=A，∴D1B1⊥平面A1AC．         
∵D1B1⊂平面AB1D1，
∴平面AB1D1⊥平面A1AC． 
方法二：连接A1B．
∵A1ABB1是正方形，∴A1B⊥AB1．            
∵CB⊥平面A1ABB1，由三垂线定理得，A1C⊥AB1． 
同理可证，A1C⊥AD1．                      
∵AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，D1A∩AB1=A，
∴A1C⊥平面AB1D1，∵A1C⊂平面A1AC，
∴平面A1AC⊥平面AB1D1．
（3）∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴AO⊥BD，
∵D1D⊥平面ABCD，AO⊂平面ABCD，∴D1D⊥AO．     
又D1D∩BD=D，∴AO⊥平面D1DOB1．           
因为，，
方法一：．          
所以．      
方法二：=．
∴多面体D1DAOB1的体积是