Question

已知函数f（x）=x+xlnx．
（1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer

（1）求出函数的导函数，进一步得到f′（1）的值，由直线方程的点斜式写出直线方程；
（2）把函数f（x）的解析式代入k（x-1）＜f（x），整理后得k，问题转化为对任意x∈（1，+∞），k恒成立，求正整数k的值．设函数g（x）=，求其导函数，得到其导函数的零点x位于（3，4）内，且知此零点为函数g（x）的最小值点，经求解知g（x）=x，从而得到k＜x，则正整数k的最大值可求．
【解析】
（1）因为函数f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，
则函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）因为f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，因为x＞1，
也就是对任意x＞1恒成立．
令，则，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x，且满足x∈（3，4）．
当1＜x＜x时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函数在（1，x）上单调递减，在（x，+∞）上单调递增．
所以=
．
所以k＜[g（x）]min=x
因为x∈（3，4）．故整数k的最大值是3．