Question

已知函数f（x）=lnx，
（1）若a=-2时，h（x）=f（x）-g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；
（2）设函数f（x）的图象C₁与函数g（x）的图象C₂交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M，N，问是否存在点R，使C₁在M处的切线与C₂在N处的切线平行？若存在，求R的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由h（x）=lnx+x2-bx，由函数的单调性知，由此不等式能求出b的取值范围．
（2）由题设条件，可设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，令0＜x1＜x2，g′（x）=ax+b，假设R点存在，则，由此能推导出点R不存在．
【解析】
（1）∵f（x）=lnx，，
∴h（x）=lnx+x2-bx，
由，
得到在x∈（0，+∞）上恒成立，
因为，所以…..（4分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则有，
令0＜x1＜x2，g′（x）=ax+b，
假设R点存在，则…..（6分）
又因为，，
得到，
即…..（8分）
令，设，t∈（0，1），
，得到h（t）在（0，1）内单调递增，
h（t）＜h（1）=0，假设不成立，所以点R不存在．…..（12分）