Question

设f（x）是定义在[0，1]上的函数，若存在x^*∈（0，1），使得f（x）在[0，x^•]上单调递增，在[x^•，1]单调递减，则称f（x）为[0，1]上的单峰函数，x^•为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．
对任意的[0，1]上的单峰函数f（x），下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（Ⅰ）证明：对任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），则（0，x₂）为含峰区间；若f（x₁）≤f（x₂），则（x₁，1）为含峰区间；
（Ⅱ）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x₁，x₂∈（0，1），满足x₂-x₁≥2r，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；
（Ⅲ）选取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34．
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）．

Answer

（1）本题是一道新定义题，咋一看挺繁琐且无从下手，其实这类新定义题目只需牢牢的抓住题干定义，需要分f（x1）≥f（x2）和 f（x1）≤f（x2）两类情况讨论分析；
（2）有了（1）的讨论处理，第（2）显的容易一些，只要借助（1）用r把x1，x2分别表达出来；
（3）本问题是在第（2）问的基础上又提出的问题，关键是找出以下两组关系式：x1+x2=l和x3+x1=x2，
证明：（I）设x*为f（x）的峰点，则由单峰函数定义可知，f（x）在[0，x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减．
当f（x1）≥f（x2）时，假设x*∉（0，x2），则x1＜x2＜x*，从而f（x*）≥f（x2）＞f（x1），
这与f（x1）≥f（x2）矛盾，所以x*∈（0，x2），即（0，x2）是含峰区间．
当f（x1）≤f（x2）时，假设x*∉（x1，1），则x*≤x1＜x2，从而f（x*）≥f（x1）＞f（x2），
这与f（x1）≤f（x2）矛盾，所以x*∈（x1，1），即（x1，1）是含峰区间．
（II）由（I）的结论可知：
当f（x1）≥f（x2）时，含峰区间的长度为l1=x2；
当f（x1）≤f（x2）时，含峰区间的长度为l2=1-x1；
对于上述两种情况，由题意得①
由①得1+x2-x1≤1+2r，即x2-x1≤2r
又因为x2-x1≥2r，所以x2-x1=2r，②
将②代入①得
x1≤0.5-r，x2≥0.5-r，③
由①和③解得x1=0.5-r，x2=0.5+r．
所以这时含峰区间的长度l1=l1=0.5+r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．
（III）【解析】
对先选择的x1；x2，x1＜x2，由（II）可知
x1+x2=l，④
在第一次确定的含峰区间为（0，x2）的情况下，x3的取值应满足
x3+x1=x2，⑤
由④与⑤可得，
当x1＞x3时，含峰区间的长度为x1．
由条件x1-x3≥0.02，得x1-（1-2x1）≥0.02，从而x1≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x1=0.34，x2=0.66，x3=0.32．