Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象
如图所示，其中与x轴有交点 （-2，0）、（6，0），图象有一个最高点（2，）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，若f（x）在x∈[4，12]上的最大值为c且C=60°，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

Answer

（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）在△ABC中，由正弦函数的定义域和值域求得△ABC的面积的最大值为 ．利用基本不等式可得ab 的最大值为1，从而求得，△ABC的面积的最大值．
（1）【解析】
由函数的图象可得A=，ω===，∴f（x）=sin（x+ϕ）．
∵函数图象有一个最高点（2，），
∴×2+ϕ=，∴ϕ=，∴f（x）=sin（x+）．
（2）在△ABC中，f（x）=sin（x+），且 x∈[4，12]，∴≤x+≤，
故f（x）在x∈[4，12]上的最大值为c=1，
∴△ABC的面积S△ABC的最大值为 =．
由余弦定理求得 cosC==cos60°=  可得 ab=a2+b2-1，
利用基本不等式可得ab=a2+b2-1≥2ab-1，∴ab≤1，
∴△ABC的面积S△ABC的最大值为 ≤．
故当且仅当 a=b=1时，△ABC的面积的最大值为 ．