Question

已知a∈R，函数
（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；
（2）是否存在实数x∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知a∈R，函数，对其进行求导，利用导数研究函数的单调性，对于a要分类讨论；
（2）假设存在，根据题意存在实数x∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直，将问题转化为存在实数x∈（0，+∞），使得g′（x）=0，有解，求出x的值，无解，说明不存在；
【解析】
（1）∵，（x＞0），
∴f′（x）=-+=
①若a≤0，则，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增
③若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减．
（2）∵g（x）=（lnx-1）ex+x
∴g′（x）=（+1nx-1）ex+1，由（1）易知，
当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）min=f（1）=0
即x∈（0，+∞）时，．又，
∴g′（x）≥1＞0，
曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x）=0有实数解．
而g′（x）＞0，即方程g′（x）=0无实数解，故不存在．