Question

如图，边长为4的正方形ABCD中
（1）点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△CFD分别沿DE，DF折A起，使A，C两点重合于点A'，求证：面A'DF⊥面A'EF．
（2）当BE=BF=BC时，求三棱锥A'-EFD的高．

Answer

（1）由折叠前四边形ABCD为正方形，可得折叠后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，结合线面垂直的判定定理可得A′D⊥平面A′EF，进而由面面垂直的判定定理，得到答案．
（2）当BE=BF=BC时，可先求出三棱锥D-A′EF的体积，并计算出三角形EFD的面积，进而利用等积法求出三棱锥A′-DEF的高．
证明：（1）由四边形ABCD为正方形
故折叠后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
又∵A'E∩A'F=A，A'E，A'F⊂平面A'EF，
∴A′D⊥平面A′EF，
又∵A′D⊂平面A′DF，
∴平面A′DF⊂平面A′EF
【解析】
（2）由四边形ABCD为边长为4的正方形
故折叠后A′D=4，A′E=A′F=3，EF=
则cos∠EA′F==
则sin∠EA′F=
故△EA′F的面积S△EA′F=•A′E•A′F•sin∠EA′F=
由（1）中A′D⊥平面A′EF
可得三棱锥D-A′EF的体积V=××4=
又由三角形EFD的面积S=4×4-2××3×4-×1×1=
且三棱锥D-A′EF的体积等于三棱锥A′-DEF的体积
故三棱锥A′-DEF的高h满足××h=
解得h=