Question

过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作渐近线y=的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围（ ）
A．（1，2）
B．（1，）
C．（，+∞）
D．（2，+∞）

Answer

设过双曲线的右焦点F与渐近线y=垂直的直线为AF，根据题意得AF的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率，由此建立关于a、b的不等式，解之可得b2＞a2，从而可得双曲线的离心率e的取值范围．
【解析】
过双曲线的右焦点F作渐近线y=的垂线，设垂足为A，
∵直线AF与双曲线左右两支都相交，
∴直线AF与渐近线y=-必定有交点B
因此，直线y=-的斜率要小于直线AF的斜率
∵渐近线y=的斜率为
∴直线AF的斜率k=-，可得＜-，
即＞，b2＞a2，可得c2＞2a2，
两边都除以a2，得e2＞2，解得e＞
故选：C