Question

已知一动圆M，恒过点F（1，0），且总与直线l：x=-1相切．
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）探究在曲线C上，是否存在异于原点的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，当y₁y₂=-16时，直线AB恒过定点？若存在，求出定点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．由此能得到所求的轨迹方程．
（2）假设存在A，B在y2=4x上，所以，直线AB的方程：，令y=0，得x=4，所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）．
【解析】
（1）因为动圆M，过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切，所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离．
所以，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，且，p=2，
所以所求的轨迹方程为y2=4x（5分）
（2）假设存在A，B在y2=4x上，
所以，直线AB的方程：，即（7分）
即AB的方程为：，即（y1+y2）y-y12-y1y2=4x-y12
即：（y1+y2）y+（16-4x）=0，（10分）
令y=0，得x=4，
所以，无论y1，y2为何值，直线AB过定点（4，0）（12分）