Question

已知直线l：y=kx+b是椭圆C：的一条切线，F₁，F₂为左右焦点．
（1）过F₁，F₂作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F₁M|•|F₂M|的值；
（2）若直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时直线l的斜率．

Answer

（1）依题意，可求得F1（-，0），F2（，0），联立直线方程与椭圆方程，由△=0可求得b2=4k2+1，利用点到直线间的距离公式可求得|F1M|•|F2M|的值；
（2）由题意可求得A（-，0），B（0，b），利用两点间的距离公式可求得|AB|的关于k的表达式，利用基本不等式即可求得|AB|最小时直线l的斜率．
【解析】
（1）联立方程得（1+4k2）x2+kbx+4b2-4=0，----------（2分）
依题意，△=0得b2=4k2+1，----------------------------（4分）
∵F1（-，0），F2（，0）
|F1M|•|F2M|=•===1-------------（6分）
（2）∵A（-，0），B（0，b），
∴|AB|==≥3----（9分）

当且仅当=4k2，即k=±时取等号，
∴|AB|的最小值为3，此时直线l的斜率为±．--------（12分）