Question

三棱锥P-ABC，底面ABC为边长为的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（Ⅰ）求证DO∥面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥AC；
（Ⅲ）求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积．

Answer

（Ⅰ）连接AO并延长交BC于点E，连接PE、DO，证明DO∥PE，利用直线与平面平行的判定定理直接证明DO∥面PBC；
（Ⅱ）通过证明AC⊥平面DOB，利用直线与平面垂直的性质定理证明BD⊥AC；
（Ⅲ）连接BO并延长交AC于点F，连接DF，则面DOB将三棱锥P-ABC截成三棱锥D-ABF和四棱锥B-DFCP两个几何体，利用体积公式求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积．
（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接AO并延长交BC于点E，
连接PE、DO．--------------（1分）
∵O为正三角形ABC的中心，
∴AO=2OE，
又AD=2DP，∴DO∥PE，--------------（2分）
∵DO⊄平面PBC，PE⊂平面PBC--------------（3分）
∴DO∥面PBC．--------------（4分）
（Ⅱ）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC．--------------（5分）
由（Ⅰ）知，DO∥PE，∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥AC--------------（6分）
连接BO，则AC⊥BO，
又DO∩BO=O，∴AC⊥平面DOB，--------------（7分）
∴AC⊥BD．--------------（8分）
（Ⅲ）连接BO并延长交AC于点F，连接DF，
则面DOB将三棱锥P-ABC截成三棱锥D-ABF和四棱锥B-DFCP两个几何体．--------------（9分）
-----------（10分）
--------------（11分）
∴所截较大部分几何体的体积为．--------------（12分）