Question

已知函数f（x）=ax³+bx²，f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为12x+2y-27=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），f′（x）≤klnx恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由点（3，f（3））在切线上，可求点的纵坐标，又在曲线上，把求得的点的坐标代入曲线方程可得一个关于a，b的方程，再根据函数在点（3，f（3））处的切线的斜率列关于a，b的第二个方程，联立后即可求得a，b的值，则函数解析式可求；
（Ⅱ）求出函数的导函数后代入f′（x）≤klnx，把对任意的x∈[1，+∞），f′（x）≤klnx恒成立转化为x2-x+klnx≥0在x∈[1，+∞）恒成立，引入辅助函数g（x）=x2-x+klnx，而g（1）=0，则问题转化为函数g（x）=x2-x+klnx在[1，+∞）上为增函数，求k的值．把函数g（x）求导后，通过满足导函数在[1，+∞）上恒大于等于0可求实数k的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）将x=3代入直线方程得，
∵点（3，f（3））也在函数f（x）=ax3+bx2的图象上，∴①
再由f'（x）=3ax2+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
联立①②，解得．
∴；
（Ⅱ）由f'（x）=-x2+x，∴f′（x）≤klnx恒成立，
即-x2+x≤klnx在x∈[1，+∞）上恒成立；
也就是x2-x+klnx≥0在x∈[1，+∞）恒成立；
设g（x）=x2-x+klnx，
∵g（1）=0，
∴只需对任意x∈[1，+∞）有g（x）≥g（1）即可．

设h（x）=2x2-x+k，
（1）当△=1-8k≤0，即时，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）．
（2）当△=1-8k＞0，即时，设是方程2x2-x+k=0的两根且x1＜x2
由，可知x1＜，要使对任意x∈[1，+∞）有g（x）≥g（1），
只需x2≤1，即2×12-1+k≥0，
∴k+1≥0，k≥-1
∴
综上分析，实数k的取值范围为[-1，+∞）．