Question

在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，四边形ABCD是菱形．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁
（2）求该多面体的体积．

Answer

（1）通过证线线垂直⇒线面垂直即可．
（2）几何体是一个三棱柱与四棱锥的组合体，分别判定几何体的底面与高，根据公式求解即可．
【解析】
（1）证明：∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴BB1⊥AD
∵四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC
又BB1，BC⊂平面BB1C1C，且BC∩BB1=B
∴AD⊥平面BCC1B1
（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V棱柱=S△ABC×AA1=×2×2××2=2；
∵AD⊥平面BCC1B1，∴四棱锥D-B1C1CB的高为
∴四棱锥D-B1C1CB的体积为V棱锥=×2×2×=
∴该多面体的体积V=V棱锥+V棱柱=．