Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且．
（I）求a_n与b_n；
（II）设，求T_n的值．

Answer

（Ⅰ）设出等差数列的公差，根据列关于等差数列的公差及等比数列的公比的二元方程组，求出等差数列的公差和等比数列的公比后可得数列{an}与数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）把求得的数列{an}与数列{bn}的通项公式代入Tn，整理后利用错位相减法可求Tn的值．
解（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，
且，
∴，即，解得：．
∴an=a1+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，
．
（Ⅱ）Tn=anb1+an-1b2+an-2b3+…+a1bn
=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•32+…+3×2×3n-2+3•3n-1
=n•3+（n-1）•32+（n-2）•33+…+2•3n-1+3n．
∴．
∴
=（32+33+…+3n+1）-3n
==．
∴．