Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=PB，BC=2AD．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（I）求证：CD⊥平面PBD；
（II）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证CD⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与平面PAC内两相交直线垂直，根据PB⊥底面ABCD，则PB⊥CD，利用勾股定理可知BD⊥CD，PB∩BC=B，满足定理条件；
（Ⅱ）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，所以AB⊥BC．
PB⊥底面ABCD．
而CD⊂底面ABCD，所以PB⊥CD．
在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=BC，
所以BD=CD=BC，所以BD⊥CD．
又因为PB∩BD=B，所以CD⊥平面PAC
（3）【解析】
设平面EBD的法向量为=（x，y，1），B（0，0，0），E，，D（1，1，0），
则，即，
又∵平面ABE的法向量为=（0，1，0），
∴cos==．
即二面角A-BE-D的大小的余弦值为．