Question

已知双曲线x²-y²=2
（1）求以M（3，1）为中点的弦所在的直线的方程
（2）求过M（3，1）的弦的中点的轨迹方程．

Answer

（1）以M（3，1）为中点的双曲线的弦的中点坐标，利用点差法，求出直线方程，再进行验证可得结论．
（2）设直线方程为y-1=kx-3K，把它代入x2-y2=1，得（k2+1）x2+（6k2-2K）x+6K-9K2-2=0，由此入手可以求出所截弦的中点的轨迹方程．
【解析】
（1）设以M（3，1）为中点的双曲线的弦BC，B（x1，y1），C（x2，y2），则x12-y12=1①，x22-y22=1②
①-②可得（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0
∵M（3，1）为BC的中点
∴6（x1-x2）-2（y1-y2）=0，BC的斜率为：
∴=3
∴以A（3，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8
代入双曲线方程可得3x2-6x+8=0，此时△＜0，即所求直线不存在
为：3x-y-8=0
（2）【解析】
设直线方程为y-1=kx-3k，
把它代入x2-y2=1，
整理得（k2+1）x2+（6k2-2k）x+6k-9k2-2=0．
因为（3，1）在双曲线内部，所以直线和双曲线有两个不同交点，
设直线与双曲线两个交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），中点坐标为C（x，y），则
x===，
y=kx-3k+1．k=
消去k得x=，
可得：x2-y2-3x+y=0，这就是所求轨迹方程．