Question

已知抛物线C：y²=4x，P（x，y）（y＞0）为抛物线上一点，Q为P关于x轴对称的点，O为坐标原点．
（1）若S_△POQ=2，求P点的坐标；
（2）若过满足（1）中的点P作直线PA，PB交抛物线C于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=4，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．

Answer

（1）利用P（x，y）（y＞0）为抛物线上一点，S△POQ=2，建立方程，即可求P点的坐标；
（2）设直线AB的方程与抛物线联立，利用韦达定理，及k1k2=4，化简可得结论．
（1）【解析】
由题意得，，∴，∴y=2，即P（1，2）…（4分）
（2）证明：设直线AB的方程为x=my+b，A（x1，y1）B（x2，y2）
直线与抛物线联立得y2-4my-4b=0，∴y1+y2=4m，y1y2=-4b
由k1k2=4，即，整理得
即，
把韦达定理代入得（b-2m）（b+2m-1）=0b=2m或b=-2m+1（舍）…（10分）
所以直线AB过定点（0，-2）…（12分）