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高中数学试题
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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)...
对于三次函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x
,则称(x
,f(x
))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数
,请你根据上面探究结果,解答以下问题
(1)函数f(x)=
x
3
-
x
2
+3x-
的对称中心为
;
(2)计算
+…+f(
)=
.
(1)根据函数f(x)的解析式求出f′(x)和f″(x),令f″(x)=0,求得x的值,由此求得三次函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心. (2)由f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为(,1),知f(x)+f(1-x)=2,由此能够求出+…+f(). 【解析】 (1)∵f(x)=x3-x2+3x-, ∴f′(x)=x2-x+3,f''(x)=2x-1, 令f''(x)=2x-1=0,得x=, ∵f()=+3×=1, ∴f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为(,1), (2)∵f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为(,1), ∴f(x)+f(1-x)=2, ∴+…+f()=2×1006=2012. 故答案为:(,1),2012.
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考点分析:
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3
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=
.
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