Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设α，β∈[0，]，f（+）=，f（）=，求sin（α+β）的值．

Answer

（1）由三角函数的运算可得f（x）=sin（2x+），易得最值和周期；
（2）由题意可得cosα=，进而可得sinα=，同理可得β=，进而可得sin（α+β）=sin（），代入数值计算即可．
【解析】
（1）∵f（x）=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x
=（cos2x+sin2x）=sin（2x+）…（3分）
由振幅的意义可得，函数f（x）的最大值为…（4分）
最小正周期T==π…（5分）
（2）∵f（+）=sin（2（）+）=sin（）=cosα=，
∴cosα=，又因为α∈[0，]，∴sinα=…（8分）
同理可得f（+π）=sin（2（）+）=sin（）=，…（9分）
又因为β∈[0，]，∴∈[，]，∴=，解得β=…（11分）
∴sin（α+β）=sin（）=sinαcos+cosαsin=…（12分）