Question

设{a_n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S_n，且a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比；
（2）证明：对任意k∈N₊，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列．

Answer

（1）设{an}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列{an}的公比；
（2）对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1-2Sk=（Sk+2-Sk）+（Sk+1-Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（-2）=0，从而得证．
（1）【解析】
设{an}的公比为q（q≠0，q≠1）
∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，
∴
∵a1≠0，q≠0，
∴q2+q-2=0，解得q=1或q=-2
∵q≠1，
∴q=-2
（2）证明：对任意k∈N+，Sk+2+Sk+1-2Sk=（Sk+2-Sk）+（Sk+1-Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（-2）=0
∴对任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列．