Question

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（C）=3，且c=，a=2，求b的值．

Answer

（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x+）+2，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调增区间．
（2）在△ABC中，由f（C）=3 求得sin（2C+）=，由此求得C的值，再由正弦定理求得 sinA=1，可得A的值，可得 B=C=，可得b=c．
解析：（1）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（1-cos2x）+sin2x+（1+cos2x）=sin（2x+）+2，
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）在△ABC中，∵f（C）=sin（2C+）+2=3，∴sin（2C+）=，∴C=．
由c=，a=2 以及正弦定理得：，解得 sinA=1，A=，故 B=C=，
故 b=c=．