Question

已知线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，且|MN|=4，点P在线段MN上，满足=m（0＜m＜1），记点P的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程，并讨论W的形状与m的值的关系；
（2）当m=时，设A、B是曲线W与x轴、y轴的正半轴的交点，过原点的直线与曲线W交于C、D两点，其中C在第一象限，求四边形ACBD面积的最大值．

Answer

（1）设M（a，0）、N（0，b）、P（x，y），根据=m的坐标关系列式，解出用x、y表示a、b的式子，结合a2+b2=16代入并化简整理即可得到曲线W的方程为．再根据m值与的大小关系进行讨论，即可得到各种情况下曲线W的形状；
（2）由（1）得当m=时，曲线W表示椭圆：，可得A、B两点的坐标．设C（x1，y1），D（-x1，-y1），结合图形将四边形ACBD面积表示成四个三角形面积之和，代入数据得到S四边形ACBD=x1+3y1，最后根据椭圆方程并利用基本不等式，算出当且仅当x1=且y1=时，四边形ABCD面积有最大值3．
【解析】
（1）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），则a2+b2=|MN|2=16，
而由=m有：（x-a，y）=m（-a，b），解得：，代入得：．
当0时，曲线W的方程为，表示焦点在x轴上的椭圆；
当时，曲线W的方程为x2+y2=4，W为以原点为圆心、半径为2的圆；
当时，曲线W的方程为，表示焦点在y轴上的椭圆．
（2）由（1）当m=时，曲线W的方程是，可得A（3，0），B（0，1）．
设C（x1，y1），则x1＞0，y1＞0，
由对称性可得D（-x1，-y1）．
因此，S四边形ACBD=S△BOC+S△BOD+S△AOC+S△AOD
=|BO|（x1+x1）+|AO|（y1+y1），
即S四边形ACBD=x1+3y1，而，即，
所以S四边形ACBD=x1+3y1≤2=3
当且仅当时，即x1=且y1=时取等号，
故当C的坐标为（，）时，四边形ABCD面积有最大值3