Question

已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer

（1）求导数f′（x），由函数f（x）在区间[1+∞）内单调递增，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数后转化为求函数最值即可；
（2）令f′（x）=0，得x=，根据x=在区间[1，2]外、区间内分情况讨论，按照单调性即可求得其最小值；
【解析】
f′（x）=（x＞0），
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥在[1，+∞）上恒成立，
又∵当x∈[1，+∞）时，1，
∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；
（2）当a≥1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，
∴f（x）min=f（1）=0；
当0＜a≤，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，
∴f（x）min=f（2）=ln2-；
当＜a＜1时，令f′（x）=0，得x=∈（1，2），
又∵对于x∈[1，）有f′（x）＜0，对于x∈（，2）有f′（x）＞0，
∴f（x）min=f（）=ln+1-，
综上，f（x）在[1，2]上的最小值为
①当0＜a时，f（x）min=ln2-；
②当时，f（x）min=ln+1-；
③当a≥1时，f（x）min=0．