Question

对任意x∈[1，+∞），不等式x²+2x-a＞0恒成立，则a的取值范围是    ．

Answer

将不等式x2+2x-a＞0恒成立，转化为a＜x2+2x（x≥1）恒成立，构造函数f（x）=x2+2x（x≥1），求得f（x）min即可．
【解析】
∵对任意x∈[1，+∞），不等式x2+2x-a＞0恒成立，
∴a＜x2+2x（x≥1）恒成立，
∴a＜f（x）min；
令f（x）=x2+2x（x≥1），
∵f（x）=x2+2x的对称轴为x=-1，
∴f（x）=x2+2x在[1，+∞）上单调递增，
∴当x≥1时，f（x）min=f（1）=3．
∴a＜3，
∴a的取值范围是（-∞，3）．
故答案为：（-∞，3）．