Question

在平面直角坐标系xoy中，已知三点O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲线C上任意-点M（x，y）满足：．
（l）求曲线C的方程；
（2）设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PM，k_PN．试探究k_PM•k_PN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论；
（3）设曲线C与y轴交于D、E两点，点M （0，m）在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为（0，2）时，取得最小值，求实数m的取值范围．

Answer

（1）算出向量的坐标，从而得到关于x、y的表达式，代入题中等式并化简，即得：，即为所求曲线C的方程．
（2）设P（x，y），M（x，y），N（-x，-y），将M、N坐标分别代入（1）中求出的椭圆方程，再作差化简整理，可得．由此化简kPM•kPN，得kPM•kPN的值恒等于-，与点P的位置和直线L的位置无关．
（3）将P（x，y）代入椭圆方程，可得x2=3-y2且-2≤y≤2，由此化简得||=．因为当点P的坐标为（0，2）时取得最小，所以结合二次函数的性质得4m≥2，解之得．最后结合-2≤y≤2，即可得到实数m的取值范围．
【解析】
（1）由题意，可得
∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）
∴，
由此可得，，
又∵，且，
∴，
化简整理得：，即为所求曲线C的方程．
（2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
所以可设P（x，y），M（x，y），N（-x，-y）．
∴P，M，N在椭圆上，
∴，…①．，…②
①-②，得．
又∵，，
∴，
因此，kPM•kPN的值恒等于-，与点P的位置和直线L的位置无关．
（3）由于P（x，y）在椭圆C：上运动，可得x2=3-y2且-2≤y≤2
∵=（x，y-m），
∴||===
由题意，点P的坐标为（0，2）时，取得最小值，
即当y=2时，取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得．
又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为（0，2）、（0，-2），而点M在线段DE上，即-2≤m≤2，
∴，实数m的取值范围是．